医師は固有名詞ですか？

Doctor（医師）は普通名詞です

「Doctor」は一般的な名詞です。人名の前に称号として付ける場合は頭文字が大文字になりますが、固有名詞ではありません。

例文

「I went to see Dr. Smith today.」 → 「今日はスミス医師に診てもらいに行きました。」

「Dr. Smith is a very good doctor.」 → 「スミス医師はとても優れた医者です。」

最初の文では「Dr. Smith」は人名の前の称号として大文字になっていますが、二番目の文では「doctor」は普通名詞として小文字です。