ロピタルの定理とは何か？

ロピタルの定理（L'Hospitalの法則）

ロピタルの定理は、極限が不定形 0/0 または ±∞/±∞ のときに、分子と分母の導関数の比の極限が存在すれば、元の比の極限も同じ値になることを示す定理です。

具体的には、次の条件が成り立つとき、

$$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0 \text{ または } \pm\infty,$$

かつ

$$\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ が存在する}$$

このとき、

$$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

別の表記として、h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} と置き、\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0、g'(x)\neq0、さらに一側導関数 h'_+(x) と h'_-(x) が同じ極限 L に収束する場合、次が成り立ちます。

$$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} h(x) = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L.$$

この定理は、極限計算が困難な場合に、導関数を用いて簡単に評価できる強力なツールです。